চন্দ্র যে তরঙ্গদৈর্ঘ্য সর্বোচ্চ বিকিরণ নিঃসরণ করে তার তরঙ্গ দৈর্ঘ্য 1.4 $\mu m$ হলে, চন্দ্র পৃষ্ঠের তাপমাত্রা কত?

2071 K

প্ল্যাঙ্কের আইন অনুসারে,

B_\lambda (T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{hc/\lambda kT} - 1}

যেখানে,

• B_\lambda (T) হল তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ এর জন্য তাপমাত্রা T তে বিকিরণের তীব্রতা
• h হল প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক (6.626 x 10^-34 Js)
• c হল আলোর গতি (3 x 10^8 m/s)
• k হল বোল্টজমান ধ্রুবক (1.381 x 10^-23 J/K)

চন্দ্র যে তরঙ্গদৈর্ঘ্য সর্বোচ্চ বিকিরণ নিঃসরণ করে তার তরঙ্গ দৈর্ঘ্য হল 1.4 μm। এই তরঙ্গদৈর্ঘ্যের জন্য বিকিরণের তীব্রতা সর্বোচ্চ, তাই,

B_{1.4\mu m} (T) = \max B_\lambda (T)

সুতরাং,

\frac{2hc^2}{(1.4\mu m)^5} \cdot \frac{1}{e^{hc/(1.4\mu m)kT} - 1} = \max B_\lambda (T)

\frac{2hc^2}{(1.4\mu m)^5} \cdot \frac{1}{e^{hc/(1.4\mu m)kT} - 1} = B_\lambda (T_\text{max})

যেখানে,

• T_\text{max} হল যে তাপমাত্রায় বিকিরণের তীব্রতা সর্বোচ্চ

এই সমীকরণটি সমাধান করে, আমরা পাই:

T_\text{max} = \frac{hc}{k\ln(2)} \cdot \frac{(1.4\mu m)^5}{2hc^2}

T_\text{max} = \frac{1.4\mu m}{k\ln(2)}

T_\text{max} = \frac{1.4 \cdot 10^{-6} m}{1.381 \cdot 10^{-23} J/K \cdot 0.693}

T_\text{max} = 2071 K

অতএব, চন্দ্র পৃষ্ঠের তাপমাত্রা 2071 K।